Electronic Theses and Dissertation

Grup unit dari ring Z_n, dinotasikan dengan U_n, banyak digunakan dalam matematika murni maupun terapan sehingga keterampilan berhitung pada U_n menjadi sangat diperlukan. Ini menjadi masalah sebab pada saat n semakin besar, perhitungan pada U_n menjadi semakin rumit. Akan tetapi ketika U_n siklik, kendala tersebut dapat teratasi. Pada penelitian sebelumnya, ditunjukkan bahwa U_n siklik jika dan hanya jika n=2, 4, p^k, 2p^k untuk sebarang prim ganjil p dan aslian k. Pernyataan ini dikenal dengan sebutan Dalil Gauss untuk akar primitif. Pada tulisan ini Dalil Gauss akan dibuktikan ulang dengan menggunakan berbagai landasan teori seperti keterbagian pada Z, teori grup, ring, polinom atas daerah integral dan lapangan. Dimulai dengan menunjukkanUab tidak siklik dimana a,b > 2,(a,b) = 1. Maka syarat perlu mengenai kesiklikan Un adalah harus n = 2^k, p^k, 2p^k. Kemudian didapati U_2^k siklik hanya apabila k ∈ {1,2}. Lalu dibuktikan U_p siklik sehingga menggunakan induksi pada k, diperoleh U_p^k siklik. Terakhir, didapati pula bahwa U_2p^k siklik sehingga Dalil Gauss terbukti.
Kata Kunci: grup unit, grup siklik, pembangun, order

The unit group of ring Z_n denoted by Un is widely used in pure mathematics and applied mathematics, so that calculations kills in U_n are very important. It becomes a problem because as n gets bigger, the calculation in U_n becomes more complicated. However, when U_n is cyclic, the calculation is no longer matter. In previous research, it was shown that U_n is cyclic if and only if n = 2; 4; p^k; 2p^k for any odd prim p and any positive integer k. This statement is known as Gauss’ Theorem for primitive root. This paper aims to reprove The Gauss’ Theorem using various tools like divisibility in Z, group and ring, polynomials over integral domain and fields. It is stated by showing that U_ab is not cyclic where a,b > 2,(a,b) = 1. Thus, the necessity for U_n to be cyclic, n must be of the form 2^k; p^k or 2p^k. Furthermore, we find U_2^k is cyclic if only if k ∈ {1,2}. And then, proved that U_p is cyclic and using induction on k, we find that U_p^k is cyclic. Finally, it is also find that U_2p^k is cyclic so that Gauss’ Theorem is proven. Keywords: unit group, cyclic group, generator, order