Electronic Theses and Dissertation

Lemma Gauss merupakan teorema dasar yang biasanya digunakan dalam pembuktian irasionalitas akar-akar dari suatu persamaan polinomial monik dengan koefisien bilangan bulat. Konsep dasar teorema ini berkaitan erat dengan Teorema Akar Rasional, yaitu ide awal pembuktian Lemma Gauss berasal dari metode pembuktian teorema tersebut. Berbagai studi terdahulu telah mengembangkan alternatif pembuktian Lemma Gauss tanpa melibatkan faktorisasi prima maupun sifat keterbagian bilangan bulat. Beberapa di antaranya adalah pembuktian menggunakan prinsip urutan minimum serta penerapan argumen eigen pada matriks kompanion. Dalam penelitian ini, gagasan well-ordering principle yang digunakan pada pembuktian Lemma Gauss diadaptasi untuk mengonstruksi ulang pembuktian Teorema Akar Rasional. Selanjutnya, kajian ini memperluas ruang lingkup Lemma Gauss guna menguji irasionalitas akar-akar pada persamaan polinomial non-monik dengan memanfaatkan pendekatan argumen eigen. Hasil penelitian menunjukkan bahwa Teorema Akar Rasional dapat dibuktikan secara valid tanpa bergantung pada faktorisasi prima, sekaligus membuktikan bahwa argumen eigen dapat diekstensi untuk menyelesaikan kasus irasionalitas pada polinomial non-monik.
Kata kunci: Argumen Eigen, Irasionalitas, Lemma Gauss, Matriks Kompanion, Polinomial Monik, Prinsip Urutan Minimum, Teorema Akar Rasional.

Gauss’s Lemma is a fundamental theorem commonly used to prove the irrationality of the roots of a monic polynomial equation with integer coefficients. The basic concept of this theorem is closely related to the Rational Roots Theorem; in fact, the initial idea for proving Gauss’s Lemma originated from the proof method of that theorem. Various previous studies have developed alternative proofs of Gauss’s Lemma that do not involve prime factorization or the divisibility properties of integers. Some of these include proofs using the well-ordering principle and the application of the eigenarguments to the companion matrix. In this research, the concept of the well- ordering principle used in the proof of Gauss’s Lemma is adapted to reconstruct the proof of the Rational Roots Theorem. Furthermore, this study expands the scope of Gauss’s Lemma to test the irrationality of roots in non-monic polynomial equations by utilizing the eigenargument approach. The results of this study show that the Rational Roots Theorem can be validly proven without relying on prime factorization, while also demonstrating that the eigenargument can be extended to resolve cases of irrationality in non-monic polynomials. Keywords: Eigenargument, Irrationality, Gauss’s Lemma, Companion Matrix, Monic Polynomial, Well-Ordering Principle, Rational Root Theorem.