Electronic Theses and Dissertation

Masalah Isoperimetrik merupakan persoalan klasik dalam geometri yang menanyakan bentuk bidang dengan luas maksimum untuk keliling tertentu. Meskipun jawabannya yaitu lingkaran dapat ditebak secara intuitif, pembuktian formalnya membutuhkan pendekatan matematis yang tepat. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji Masalah Isoperimetrik melalui pendekatan geometri klasik tanpa menggunakan kalkulus atau teori lanjutan. Kajian dilakukan bertahap, dimulai dari segitiga dan segi empat menggunakan rumus Heron dan Bretschneider, serta ketaksamaan Rataan Aritmetik–Rataan Geometri (RA–RG), kemudian diperluas ke bidang bebas melalui pendekatan fisik dari Masalah Dido, dan akhirnya pada poligon beraturan. Hasilnya menunjukkan bahwa bentuk yang konveks dan simetris seperti segitiga sama sisi, bujur sangkar, dan lingkaran merupakan bentuk optimal untuk keliling tetap. Pendekatan ini memperlihatkan bahwa metode elementer dapat digunakan untuk memahami masalah optimasi geometris secara mendalam.
Kata kunci: Masalah Isoperimetrik, geometri klasik, luas maksimum, keliling tetap, bidang konveks.

The Isoperimetric Problem is a classical question in geometry that asks which shape encloses the greatest area for a given perimeter. While the circle is widely known as the solution by intuition, a rigorous mathematical proof requires appropriate methods. This study aims to investigate the Isoperimetric Problem using a classical geometric approach without relying on calculus or advanced theory. The analysis begins with triangles and quadrilaterals using Heron’s and Bretschneider’s formulas along with the Arithmetic Mean–Geometric Mean (AM–GM) inequality, then extends to free regions through a physical argument based on Dido’s Problem, and finally to regular polygons. The results demonstrate that convex and symmetric shapes—such as the equilateral triangle, square, and circle—are optimal under fixed perimeter constraints. This approach shows that elementary methods can provide deep insights into geometric optimization problems. Keyword: Isoperimetric problem, classical geometry, maximum area, fixed perimeter, convex region.