Electronic Theses and Dissertation

Penelitian ini mengkaji sifat-sifat dan konvergensi integral Lebesgue untuk fungsi tidak terbatas, dengan merujuk pada sifat-sifat integral Lebesgue untuk fungsi terbatas. Sebagai generalisasi integral Riemann, integral Lebesgue memberikan pendekatan yang lebih luas untuk menangani fungsi kompleks, termasuk yang memiliki nilai tak hingga. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi kondisi yang memungkinkan fungsi tidak terbatas diintegralkan secara Lebesgue dan menganalisis konvergensi integral dalam konteks tersebut. Metode yang digunakan meliputi kajian teoritis terhadap definisi dan sifat integral Lebesgue, serta pengembangan argumen berdasarkan teori ukuran dan fungsi dominan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa sebagian besar sifat integral Lebesgue untuk fungsi terbatas, seperti linieritas, kesetaraan hampir di mana-mana, integrabilitas absolut, dan aditifitas pada pembagian himpunan, juga berlaku untuk fungsi tidak terbatas. Namun, sifat minorasi dominasi, yang mirip dengan sifat monotonitas pada fungsi terbatas, serta sifat keterbatasan, tidak berlaku untuk fungsi tidak terbatas. Konvergensi integral Lebesgue untuk fungsi tidak terbatas sangat bergantung pada adanya fungsi dominan yang terintegralkan secara Lebesgue.

Kata kunci: integral Lebesgue, fungsi tidak terbatas, kekonvergenan, sifat dominasi, teori ukuran.

This study investigates the properties and convergence of the Lebesgue integral for unbounded functions, based on the properties of the Lebesgue integral for bounded functions. As a generalization of the Riemann integral, the Lebesgue integral provides a broader approach to handling complex functions, including those with infinite values. The goal of this research is to identify the conditions under which unbounded functions can be Lebesgue integrable and analyze the convergence of the integral in this context. The methodology includes a theoretical review of the definition and properties of the Lebesgue integral, along with the development of arguments based on measure theory and dominant functions. The results show that most properties of the Lebesgue integral for bounded functions, such as linearity, almost everywhere equality, absolute integrability, and additivity over set partitions, also apply to unbounded functions. However, the property of dominance, similar to the monotonicity property for bounded functions, and the property of boundedness, do not apply to unbounded functions. The convergence of the Lebesgue integral for unbounded functions relies heavily on the existence of a Lebesgue integrable dominant function. Keywords: Lebesgue integral, unbounded functions, convergence, domination property, measure theory.