Electronic Theses and Dissertation

Penelitian ini membahas tentang pendekatan kombinatorik untuk merumuskan jumlah pangkat bilangan asli $\sigma_k(n)$ secara sistematis. Tujuan penelitian ini adalah membuktikan bahwa $\sigma_k(n)$ merupakan polinomial berderajat $k+1$ dalam $n$, menyajikan proses pembentukan polinomial tersebut, serta menunjukkan bahwa untuk $k$ ganjil, $\sigma_k(n)$ dapat dinyatakan sebagai polinomial Faulhaber dalam $\sigma_1(n)$. Kajian dilakukan bertahap, dimulai dari pemanfaatan tabel beda hingga, koefisien binomial, dan bilangan Stirling jenis-2 untuk mengubah $x^k$ menjadi polinomial perkalian naik. Selanjutnya diperkenalkan metode baru yang menyederhanakan perhitungan $\sigma_k(n)$ tanpa menggunakan teori tingkat lanjut. Hasilnya menunjukkan bahwa metode kombinatorik ini menghasilkan rumus yang lebih terstruktur, memperluas pemahaman sifat-sifat $\sigma_k(n)$, dan memberikan dasar baru untuk pembuktian polinomial Faulhaber.

This research develops a combinatorial approach to systematically formulate the sum of powers of natural numbers $\sigma_k(n)$. The objectives are to prove that $\sigma_k(n)$ is a polynomial of degree $k+1$ in $n$, to describe the process of constructing the polynomial, and to show that for odd $k$, $\sigma_k(n)$ can be expressed as a Faulhaber polynomial in $\sigma_1(n)$. The discussion proceeds step by step, starting from the use of finite difference tables, binomial coefficients, and Stirling numbers of the second kind to transform $x^k$ into rising factorial polynomials. A new method is then introduced to simplify the computation of $\sigma_k(n)$ without using advanced theory. The findings indicate that this combinatorial method produces a more structured formula, expands the understanding of the properties of $\sigma_k(n)$, and provides a new basis for proving Faulhaber’s polynomial.