Electronic Theses and Dissertation

Matriks identitas adalah suatu matriks persegi yang memuat entri 1 pada diagonal utamanya dan 0 diluar diagonal. Akar kuadrat dari matriks identitas 3×3 dapat diperoleh dengan mengkonstruksi matriks A yang memenuhi persamaan A^2=I_3. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan aljabar dengan membatasi pencarian solusi matriks segitiga atas, dilanjutkan dengan analisis sistem persamaan non-linear yang muncul, serta identifikasi pola keterkaitan dengan tripel bilangan bulat. Penelitian ini bertujuan untuk mengklasifikasikan bentuk umum akar kuadrat matriks identitas berukuran 3×3 melalui pendekatan matriks segitiga atas serta menganalisis hubungannyaa dengan tripel 120° dan tripel Eisenstein. Dalam mengklasifikasikan bentuk umum akar kuadrat matriks identitas 3×3 ditemukan empat solusi kasus berdasarkan nilai elemen-elemen off-diagonal. Bentuk umum matriks akar kuadrat I_3 yang memuat tripel 120° dan tripel Eisenstein diperoleh melalui parameterisasi elemen-elemen matriks yang melibatkan rasio dari bilangan bulat. Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap tripel 120° dan tripel Eisenstein dapat digunakan untuk mengkontruksi matriks akar kuadrat I_3 dan sebaliknya.

Kata kunci: Akar kuadrat matriks, matriks identitas, matriks segitiga atas, tripel 120°, tripel Eisenstein.

The identity matrix is a square matrix with entries of 1 on its main diagonal and 0 elsewhere. The square root of the 3×3 identity matrix can be obtained by constructing a matrix A that satisfies the equation A^2=I_3. The method used in this research is an algebraic approach by restricting the search for solutions to upper triangular matrices, followed by an analysis of the resulting system of non-linear equations, as well as the identification of patterns related to integer triples. This study aims to classify the general form of the square root of the 3×3 identity matrix through the upper triangular matrix approach and to analyze its relationship with 120° triples and Eisenstein triples. In classifying the general form of the square root of the 3×3 identity matrix, four solution cases were found based on the values of the off-diagonal elements. The general form of the square root matrix of I_3 that contains 120° triples and Eisenstein triples was obtained through the parameterization of matrix elements involving ratios of integers. The results show that every 120° triple and Eisenstein triple can be used to construct a square root matrix of I_3,and vice versa. Keywords: Square root of a matrix, identity matrix, upper triangular matrix, 120° triples, Eisenstein triples.