Electronic Theses and Dissertation

Persamaan parabolik dan eliptik merupakan bentuk gabungan dari persamaan diferensial parsial yang banyak digunakan dalam pemodelan fenomena fisika seperti difusi panas dan distribusi suhu pada sistem yang melibatkan perubahan dinamis dan keadaan stabil secara simultan. Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan metode Aternating Direction Implicit (ADI) sebagai pendekatan numerik dalam menyelesaikan persamaan parabolik dan eliptik dua dimensi secara efisiensi dan akurat. Metode ADI membagi penyelesaian sistem dua dimensi menjadi dua tahap, satu dimensi yang diselesaikan secara bergantian pada arah x dan y menggunakan pendekatan implisit. Proses ini menghasilkan sistem tridiagonal yang diselesaikan dengan algoritma Thomas. Simulasi dilakukan dengan menggunakan software MATLAB terhadap dua kasus uji, yaitu persamaan panas (parabolik) dan persamaan Laplace (eliptik), kedua persamaan tersebut dibandingkan dengan solusi eksaknya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode ADI mampu menghasilkan solusi numerik yang mendekati solusi eksak dengan tingkat kesalahan (RMSE) yang sangat kecil. Selain itu, metode ini terbukti efisien dalam waktu komputasi dan tetap stabil meskipun menggunakan langkah waktu yang relatif besar. Oleh karena itu, metode ADI dapat digunakan dalam penyelesaikan persamaan diferensial parsial dua dimensi yang kompleks.
Kata kunci: Metode Alternating Direction Implicit (ADI), persamaan parabolik dan eliptik, dua dimensi

Parabolic-elliptic equations are a combination of partial differential equations widely used in modeling physical phenomena such as heat diffusion and temperature distribution in system involving both dynamic changes and steady-state conditions. This study aims to implement the Alternating Directions Implicit (ADI) method as a numerical approach for efficiently and stably solving two-dimensional parabolic and elliptic equations. The ADI method docomposes the two-dimensional problem into two one-dimensional stages that are solved alternately in the x and y directions using implicit schemes. This approach results in tridiagonal systems that are solved using the Thomas algorithm. Simulations are conducted using MATLAB on two test cases: the heat equation (parabolic) and the Laplace (elliptic), each compared to their exact solutions. The results show that ADI method can produce numerical solutions that closely match the axact solutions, with very small Root Mean Squere Error (RMSE) values. Furthermore, the method is computationally efficient and remains stable even when using relatively large time steps. Therefore, the ADI method is suitable for solving complex two-dimensional partial differential equations numerically. Keyword: ADI method, parabolic and elliptic equations, two-dimensional