Electronic Theses and Dissertation

Persamaan integral fredholm nonlinear merupakan salah satu instrumen yang memiliki peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena di bidang sains dan teknik. namun, solusi analitik untuk persamaan ini sering kali sulit didapatkan secara langsung. penelitian ini mengkaji penerapan metode ekspansi taylor untuk menyelesaikan persamaan integral fredholm nonlinear jenis kedua dengan tiga variasi fungsi nonlinear, yaitu u^2 (t),u^3 (t), dan √(u(t)). metode ini mengasumsikan fungsi solusi sebagai polinomial deret taylor berderajat m di sekitar titik x=c. melalui diferensiasi sebanyak m kali dan penerapan aturan leibniz, persamaan integral ditransformasikan secara terstruktur ke dalam operasi sistem matriks u-λwy^*=f yang menghasilkan sistem persamaan aljabar nonlinear. koefisien-koefisien taylor yang tidak diketahui kemudian diselesaikan dan disubstitusikan kembali untuk mendapatkan solusi aproksimasi akhir. solusi eksak dari masing-masing kasus ditentukan terlebih dahulu menggunakan metode komputasi langsung (direct computation method) sebagai pembanding akurasi melalui analisis galat. hasil pembahasan menunjukkan bahwa metode ekspansi taylor memiliki tingkat akurasi yang sangat tinggi. pada kasus fungsi nonlinear u^2 (t) dan u^3 (t), peningkatan orde dari m=2 ke m=4 memberikan peningkatan akurasi yang signifikan di mana pada m=4 solusi aproksimasi telah identik dengan solusi eksak (galat bernilai 0). sementara pada kasus √(u(t)), akurasi optimal dengan galat 0 sudah tercapai sejak orde rendah m=2. dengan demikian, metode ekspansi taylor terbukti sangat efektif, akurat, dan konsisten dalam menyelesaikan persamaan integral fredholm nonlinear. kata kunci: persamaan integral, persamaan integral fredholm nonlinear, metode ekspansi taylor, solusi aproksimasi, galat, fungsi nonlinear

Nonlinear Fredholm integral equations play a vital role in modeling various phenomena across science and engineering. However, obtaining direct analytical solutions for these equations is often challenging. This study examines the application of the Taylor expansion method to solve second-kind nonlinear Fredholm integral equations across three variations of nonlinear functions, namely u^2 (t),u^3 (t), and √(u(t)). This method assumes the solution function to be a Taylor series polynomial of degree M about the point x=c. Through m-times differentiation and the application of Leibniz’s rule, the integral equation is systematically transformed into a matrix system operation, U-λWY^*=F, which yields a system of nonlinear algebraic equations. The unknown Taylor coefficients are then determined and substituted back to obtain the final approximate solution. To evaluate accuracy, the exact solution for each case is predefined using the direct computation method as a baseline for error analysis. The results indicate that the Taylor expansion method offers exceptionally high accuracy. For the nonlinear functions u^2 (t) and u^3 (t), increasing the order from M=2 to M=4 significantly improves accuracy; at M=4, the approximate solution becomes identical to the exact solution (with a zero error value). Meanwhile, for √(u(t)) function, optimal accuracy with a zero error is achieved at lower order of M=2. In conclusion, the Taylor expansion method proves to be highly effective, accurate, and consistent in solving nonlinear Fredholm integral equations. Keywords: integral equation, nonlinear Fredholm integral equation, Taylor expansion method, approximate solution, error