Electronic Theses and Dissertation

Pada umumnya, penyelesaian sistem persamaan linier (spl) menggunakan invers matriks biasa, yang hanya dapat diterapkan apabila matriks koefisien berbentuk persegi dan invertible. namun, dalam berbagai kasus teoritis maupun praktis, spl melibatkan matriks yang tidak invertible atau tidak berbentuk persegi, sehingga diperlukan pendekatan penyelesaian yang lebih umum. bott-duffin inverse (bd-inverse) merupakan salah satu bentuk generalized inverse yang mampu memberikan solusi terbatas terhadap spl dengan kendala tertentu. penelitian ini bertujuan untuk memodifikasi spl yang dapat diselesaikan menggunakan bd-inverse, yaitu ax + y = b, dengan kendala x ∈ l, y ∈ l⊥ di mana l merupakan subruang dari ruang vektor cn, menjadi ax + by = c dengan kendala yang sama, sehingga solusinya merupakan modified bott-duffin inverse (mbd-inverse). selanjutnya, representasi eksplisit dari mbd-inverse akan dicari untuk mempermudah perhitungan, serta disusun langkah-langkah algoritmik untuk menghitung mbd-inverse sehingga dapat digunakan sebagai solusi. penelitian ini mencakup proses modifikasi spl dari bentuk ax + y = b menjadi ax + by = c, penurunan solusi spl hasil modifikasi, serta perumusan definisi dari modified bott-duffin inverse (mbd-inverse). definisi ini kemudian dinyatakan dalam bentuk representatif untuk mempermudah proses perhitungan. selain itu, disusun pula algoritma untuk memperoleh solusi spl menggunakan pendekatan mbd-inverse. hasil utama dari penelitian ini mencakup definisi baru dari mbd-inverse terhadap suatu subruang dari ruang vektor dan subruang ortogonalnya, representasi matematis dari mbd-inverse dalam bentuk matriks unitary dan matriks blok yang memudahkan perhitungan, serta lemma, teorema, dan akibat yang mendukung penyederhanaan bentuk representasinya. selain itu, dikembangkan pula algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan spl berbentuk ax + by = c secara efisien dengan pendekatan mbd-inverse.

In general, the solution of a System of Linear Equations (SLE) uses the standard matrix inverse, which is only applicable when the coefficient matrix is square and invertible. However, in many theoretical and practical cases, the SLE involves matrices that are either non-invertible or non-square, thus requiring a more general solution approach. The Bott-Duffin Inverse (BD-Inverse) is one form of generalized inverse that can provide a constrained solution to an SLE under specific conditions. This research aims to modify the class of SLEs solvable by BD-Inverse, namely Ax + y = b, with constraints x ∈ L, y ∈ L⊥, where L is a subspace of the vector space Cn, into Ax + By = c with the same constraints, so that its solution becomes the Modified Bott-Duffin Inverse (MBD-Inverse). An explicit representation of the MBD-Inverse is then derived to facilitate computation, and algorithmic steps for its calculation are formulated so it can be used as a solution. This research includes the process of modifying the SLE from the form Ax + y = b into Ax + By = c, the derivation of the solution of the modified SLE, and the formulation of the definition of the Modified Bott-Duffin Inverse (MBD-Inverse). This definition is then expressed in a representative form to simplify the computational process. In addition, an algorithm is also constructed to obtain the solution of the SLE using the MBD-Inverse approach. The main results of this research include a new definition of the MBD-Inverse with respect to a subspace of a vector space and its orthogonal subspace, a mathematical representation of the MBD-Inverse in terms of unitary matrices and block matrices that simplify computation, as well as lemmas, theorems, and corollaries that support the simplification of its representative form. Furthermore, an algorithm is also developed that can be used to solve SLEs of the form Ax + By = c efficiently using the MBD-Inverse approach.